Universidad Abierta y a
Distancia de México
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
MATERIA:
ANÁLISIS NUMÉRICO 1
ALUMNA : ANA MARÍA AGUILAR REBOLLEDO
MATRÍCULA: AL12512527
MAESTRO:
AARON BARRAZA SOLORZANO
Influencia de errores
Investiga y debate
con tus compañeros como los siguientes temas influyen en tu concepto de Error.
a) Determinismo
y el demonio de Laplace
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A veces, para
expresar una idea, los físicos han imaginado un ser con capacidades
sobrehumanas pero no sobrenaturales, es decir, capacidades superiores a las
de cualquier persona pero que no violan ninguna ley fundamental de la
Naturaleza. A estos seres se les suele llamar demonios, a pesar de que no
tienen ninguna mala intención.
El primer
demonio de renombre es el demonio de Laplace. El físico y matemático francés
Laplace fue una de las principales figuras en el desarrollo de la mecánica
creada por Newton. Estaba convencido de que todos, absolutamente todos los
fenómenos de la naturaleza, incluido el comportamiento humano, obedecían las
leyes de Newton y podían explicarse y predecirse a partir de ellas.
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En otras
palabras, el mundo, si obedeciera las leyes de Newton, sería completamente
determinista. Para expresar esta idea de forma más gráfica, Laplace imaginó
un demonio, capaz de conocer la posición y velocidad de todas las partículas
del Universo en un momento dado, y capaz también de resolver las ecuaciones
de Newton del Universo. Un demonio con estas capacidades (sobrehumanas pero
no sobrenaturales) conocería el devenir de todo lo que existe, conocería el
más leve movimiento de cualquier cosa o persona que viviera en los próximos
cien mil millones de años.
Da igual que
un demonio con estas capacidades exista. Lo importante es que puede existir.
Y si puede existir y conocer lo que vamos a comer en nuestro próximo
cumpleaños, esa comida está ya decidida, y nuestra sensación de que podemos
elegir el menú el día antes e incluso cambiar de opinión en el último
segundo, esa sensación es pura ilusión. Todo está escrito. Determinismo,
fatalismo. Ésa es la moraleja del demonio de Laplace.
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Determinisimo,
azar y voluntad.
La ciencia fue,
hasta principios del siglo XX, decididamente determinista. La mayor parte de
los científicos pensaban que toda la realidad obedecía a leyes de Newton y que
el estado presente del Universo determinaba con exactitud el estado en
cualquier tiempo futuro, sin espacio para ningún tipo de azar. Se pensaba que
el azar que observamos era producto de nuestra ignorancia. Sin embargo, a
principios del XX, la Mecánica Cuántica mostró que había acontecimientos en la
Naturaleza intrínsecamente aleatorios y que el futuro no podía ser determinado
aunque tuviéramos la máxima información sobre el estado presente de un sistema
o del Universo entero.
Si detrás de
cualquier decisión que tomemos no hay más que actividad química y eléctrica de
nuestras neuronas, y si esta actividad se rige por leyes de la Física, entonces
al sensación de voluntad no sería más que una combinación de azar y
determinismo. La combinación de ciertos procesos aleatorios, quizá de
naturaleza cuántica, y del determinismo por el cual causas acumuladas a través
de la memoria consciente o inconsciente se manifiestan en nuestros actos y
decisiones.
CONCLUSIÓN:
Hemos
renunciado a la búsqueda de un saber que, de una u otra forma, restituya al
mundo la transparencia que le postulaba la razón clásica, con peligro de
producir el anacronismo fantástico del dualismo espíritu-materia. Y que cuando
hablamos de las leyes de la física como si nos dieran acceso a una realidad
fundamental, producimos el mismo movimiento paradójico que la anciana de las
tortugas:
Un día en que
el filósofo William James, que se dedicada en sus ratos libres a la
vulgarización científica, acababa de explicar en una pequeña ciudad del campo
americano cómo la tierra gira alrededor del sol, vio, cuenta la anécdota, venir
hacia él a una anciana con aire decidido, la cual le interpeló, parece ser, en
estos términos: no, la tierra no se mueve, porque, como es sabido, está
incrustada sobre el lomo de una tortuga. James, por lo visto, decidió ser
cortés y preguntó sobre qué, en esta hipótesis, reposaba la tortuga. La anciana
replicó sin dudar: "Pues ni que decir tiene que sobre otra tortuga."
Y James insistió: "Pero la segunda, ¿sobre qué reposa?". Entonces,
concluye la historia, la anciana, triunfante, graznó: "No merece la pena,
señor James, hay tortugas hasta abajo (all the way down)."
He querido
hablarles de la anécdota de las tortugas con el fin de que estos pequeños
animales de aspecto prehistórico, lentos y obstinados, nos recuerden hasta qué
punto somos hoy prisioneros, sin perspectiva, de algunos lenguajes sumamente
formalizados: la ciencia, la informatica, la religión, la historia, etc.
La realidad se
nos presenta, con postulados, transparente y opaca al mismo tiempo, y esto
puede traer interpretaciones equivocadas y pseudocientíficas. Quizá deambulamos
constantemente por esa zona gris, más cerca del caos que del orden, mientras
nos convencemos de que jamás alcanzaremos la posición del demonio de Laplace.
No debe
entristecernos el hecho de no poder acceder a toda la información conocida por
el personaje creado por Pierre Simon de Laplace, su DEMONIO DE LAPLACE. Gracias
a nuestra fenomenal ignorancia, actividades tan edificantes como una partida de
billar tienen un desenlace incierto, aun cuando los jugadores sean mejores que
"Felson el rápido". Esta comunión entre lo impredecible y lo
determinista nos libera de lo que, de otra forma, sería un aburrimiento
cósmico.
b) El
principio de incertidumbre de Heissenberg
El principio de Incertidumbre de Heisenberg
El hecho de que
cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la
capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. Este principio fué
enunciado por W. Heisenberg en 1927.
- Es natural
pensar que si una partícula está localizada, debemos poder asociar con
ésta un paquete de ondas más o menos bien localizado.
Un paquete de
ondas se construye mediante la superposición de un número infinito de ondas armónicas
de diferentes frecuencias.
En un instante
de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete de ondas esta dado
por
donde k representa el número de onda
y donde la
integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número
de ondas) que
varian desde cero a mas infinito ponderadas mediante el factor
g(k).
El momento de
la partícula y el número de ondas estan relacionados ya que
de lo cual se
deduce que
- Queda
claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas las contribuciones
de las ondas cuyo número de onda varía entre cero e infinito y por lo
tanto el momento
también varia entre cero e
infinito. Es decir que esta completamente indeterminado.
- Para
ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes
tipos de
paquetes de onda y su transformada
de Fourier que nos dice
como estan
distribuidas las contribuciones de las ondas con número de ondas
k dentro del paquete.
- En el
primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el
espacio x, tiene contribuciones practicamente
iguales de todas las ondas
con número de
ondas k.
- En el
segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de
ondas, también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la
partícula.
- En el último
caso vemos que para definir bien el momento
de la partícula, entonces su
posición queda completamente indefinida. - Es posible
determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el
espacio normal
como en el espacio de
momentos 
.
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El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en
la precisión con el cual podemos determinar
al mismo tiempo la
posición y el momento de una partícula.
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- La
expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de
Heisenberg es
- Si queremos
determinar con total precisión la posición:
- De la
desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos
entonces que
Es decir, que
la incertidumbre en el momento es infinita.[1]
c) Edward N.
Lorenz, atractores extraños y la teoría del Caos.
PRINCIPIOS
FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DEL CAOS
En 1963 Edward
Lorenz, meteorólogo del MIT se vio obligado a interrumpir un largo cálculo por ordenador sobre patrones
meteorológicos. Posteriormente, en lugar
de comenzar de nuevo el cálculo desde el principio, cargó los resultados
parciales que había obtenido para que el ordenador siguiera trabajando a partir
de donde había parado. Para su sorpresa, el resultado que obtuvo de esta
manera fue muy
diferente del resultado que había obtenido previamente realizando los cálculos
de una sola vez. Las diferencias entre los dos procesos era debida a que el
ordenador redondeaba los números de una manera ligeramente distinta cuando los
almacenaba que cuando seguía usándolos en los cálculos. El error de redondeo
producía una diferencia en la octava cifra decimal de los números relevantes.
Esto indicaba que algunos sistemas importantes en la naturaleza, como los
atmosféricos,
pueden ser extremadamente sensibles a los pequeños cambios.
PRINCIPIOS
FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DEL CAOS
1. Los sistemas
caóticos son no lineales: En una variación lineal una variable cambia en
dirección directa a otra, pero en un sistema no lineal no se mantiene este tipo
de variación.
2. En un sistema
caótico el resultado final depende muy sensiblemente de las condiciones
iniciales. Una variación muy pequeña en las condiciones iniciales puede
desencadenar grandes cambios en los resultados finales. (efecto mariposa).
3. Los sistemas
caóticos son deterministas: Esto a primera vista puede parecer contradictorio
pero es necesario reconocer que en los sistemas caóticos existe algo que
determina su comportamiento en un tiempo y un espacio precisos. Por esto Ruelle
y Takens en 1971 propusieron la teoría del atractor extraño.
4. El
comportamiento caótico no puede predecirse. Es literalmente imposible medir las
condiciones iniciales de un sistema, simularlas con un ordenador tal vez, pero
no medirlas y menos con una perfecta exactitud, por lo que los estados futuros
nunca podrán ser predichos. Para una mejor comprensión de estos cuatro
principios es necesario definir dos conceptos que apareen de manera reiterada
en su estudio: los atractores y fractales.
ATRACTORES
Científicos que
estudiaban el caos (la ausencia de orden) notaron que cuando se juntaban
suficientes elementos complejos interactuantes, en vez de crearse caos, tendía
a formarse un orden espontáneo como consecuencia de la interacción. Orden en
torno a lo que denominan “atractores” que
ayudan a crear y
sostener en forma estable patrones o configuraciones dentro del sistema. Estos
atractores forman una especie de paisaje que da forma y determina los patrones
de interacción dentro del sistema. Un atractor es el conjunto de puntos hacia
los cuales tiende un sistema dinámico tras un número elevado, infinito sería lo
ideal, de interacciones. El llamarle atractor caótico se debe a que el sistema
al cual hace referencia presenta la elevada sensibilidad y a la imposibilidad
de repetición de los resultados antes mencionada.
FRACTALES
Los fractales son
los objetos matemáticos que constituyen la geometría de la teoría del caos. Los
sistemas caóticos y dinámicos fueron conocidos mucho antes que los fractales.
Un fractal es aquel
que posee dos características básicas:
1. Autosimilitud
2. Dimensión
fractal
Autosimilitud: Un
fractal es un objeto en el cual sus partes tienen “alguna” relación con el
todo. Cada porción de un objeto tienen las mismas características del objeto
completo. También se puede decir que cada área de un fractal, conserva, de
manera estadísticamente similar, sus características globales. Dimensión
fractal: Los fractales son objetos cuya dimensión es fraccionaria. La palabra
fractal, enunciada por Mandelbrot proviene del latín y significa roto,
quebrado. Esta situación permite afirmar que un objeto fractal es aquel que su
dimensión fractal de Hansdorff-Besicovich supera a su dimensión topológica.[2]
El problema no. 2
de Hilbert y el teorema de incompletitud de Gödel
David Hilbert y el Formalismo Matemático
El 8 de agosto de
1,900, durante la celebración del Congreso Internacional de Matemáticos,
hablando en la Universidad de Paris, La Sorbonne, David Hilbert (1862 – 1943)
mostró el liderazgo que ostentaba en el mundo científico de la época, al
anunciar la lista de los 23 problemas matemáticos pendientes de solución que él
consideraba de mayor importancia.
La lista fue
publicada poco tiempo después e incluye en la segunda posición, el reto de
demostrar que los axiomas de la aritmética son consistentes, es decir que no
conducen a ninguna contradicción. Tal demostración sentaría las bases sólidas
para construir un conocimiento perfecto, libre de errores y dudas.
Tan importante era
este problema para Hilbert que le condujo a proponer a principio de la década
de 1920, lo que se conoce como el “Programa de Hilbert” para completar la
formalización de las matemáticas mediante el enunciado completo de todos sus
axiomas y la demostración de que tal sistema axiomático es consistente.
El programa
comprendía demostrar que:
1. Todo conocimiento matemático se
deriva de un conjunto finito de axiomas cuidadosamente seleccionados, y
2. Puede demostrarse que tal
sistema axiomático es consistente, es decir, no conduce a contradicciones
cuando se derivan conclusiones de ellos.
En la filosofía de la
matemática, la intención de Hilbert representa el mejor ejemplo de la corriente
conocida como formalismo, según la cual las matemáticas se reducen a la
manipulación de símbolos siguiendo ciertas reglas formales. El formalismo
pretende una desconexión completa de los conceptos matemáticos abstractos de
cualquier objeto del mundo real y establece el razonamiento matemático como una
actividad completamente independiente.
Sin embargo Hilbert
también incluyó un requisito para llevar a cabo su programa: debían utilizarse
únicamente métodos finitos o finitarios. El concepto de infinito debía
excluirse de toda prueba y por lo mismo, métodos como la inducción matemática,
aplicables a conjuntos infinitos, no podían usarse. Las razones de Hilbert
incluían su convicción de que tales conjuntos no corresponden a nada real.
Con gran entusiasmo
una generación de matemáticos que incluía al mismo Hilbert, a Paul Bernays,
Wilhelm Ackermann, John von Neumann, y Jacques Herbrand, se lanzó a la
ejecución con importantes avances, hasta llegar a anunciar, en 1929, que se
había demostrado ya la consistencia de la teoría de números y del análisis
numérico, y que lo único pendiente era demostrar algunos teoremas aritméticos.
Entonces sucedió lo impensable.
Incompletitud
Los planteamientos de
Hilbert atrajeron a multitud de jóvenes investigadores, entre ellos Kurt Gödel
(1906 – 1978) quien se aplicó a ellos con una visión diferente.
Gödel inició
estudiando física teórica en la universidad de Viena, pero al poco tiempo
cambió y eligió estudiar lógica matemática. Se supone que decidió el cambio
luego de escuchar una conferencia de Hilbert sobre completitud y consistencia.
El problema de la
completitud consiste en demostrar que un sistema axiomático, del tipo de los
que Hilbert proponía, es capaz de demostrar o derivar toda proposición
verdadera dentro del sistema. La incompletitud implicaba la falta de axiomas,
pues se suponía que una proposición verdadera no demostrable podría serlo
agregando nuevos axiomas. Gödel eligió este problema como tópico de
investigación para su tesis doctoral.
En 1929, contando
apenas 23 años, presentó sus resultados como disertación doctoral y demostró la
completitud del cálculo de predicados de primer orden o lógica de primer orden.
Ninguna proposición verdadera podía escapar del poder demostrativo de este tipo
de lógica. En 1930 obtuvo el doctorado y su tesis fue publicada. Entonces
enfocó su mirada en el programa de Hilbert.
Un año bastó a Gödel
para conseguir resultados publicables. En 1931 vio la luz su artículo “Sobre
las Proposiciones Formalmente Indecidibles de “Principia Mathematica” y
Sistemas Relacionados” que contiene sus famosos teoremas de incompletitud. La
explicación y desarrollo de los mismos es una de los logros más grandiosos de
la mente humana y han sido suficientes para colocar a Gödel a la altura de
genios como Aristóteles o Einstein. Su resumen simplificado es el siguiente:
Cualquier sistema
axiomático computable que sea capaz de describir la aritmética de los números
naturales, los Axiomas de Peano por ejemplo, está sujeto a las siguientes
condiciones:
1. Si el sistema es consistente
entonces no puede ser completo, y
2. La consistencia de los axiomas
no puede demostrarse desde dentro del sistema.
Al principio el
artículo pasó casi desapercibido. El mismo Gödel lo presentó en una conferencia
en Königsberg, Alemania. Entre la audiencia se encontraba John von Neumann,
quien inmediatamente notó las implicaciones que tenía: básicamente, el programa
de Hilbert era imposible de llevar a cabo. La humanidad acaba de pasar la
página de un capítulo completo de historia matemática y lógica, y de paso
iniciaba uno nuevo lleno de posibilidades.
El destino de un genio
Gödel se traslado a
Estados Unidos desplazado, como muchos otros, por la segunda guerra mundial. El
Instituto para Estudios Avanzados (Institute for Advanced Study, IAS) de
Princeton lo acogió con alegría, ahí había conocido a quien sería uno de sus
mejores amigos de por vida, Albert Einstein, con quien compartió innumerables
charlas de camino del instituto a su casa. Se dice que Einstein valoraba sobre
todo su estadía en el instituto, por el placer de conversar con Gödel.
Con motivo del
cumpleaños número 70 de Einstein, Gödel le dio un regalo particular: una
solución paradójica a sus ecuaciones de campo en la teoría general de la
relatividad. La solución preveía la existencia de universos rotacionales que
permitían los viajes al pasado y al futuro.
Su gran amigo lo
precedió en el viaje final. Einstein murió en 1955 y para ese entonces Gödel
padecía ya de trastornos mentales que le hacían creer que querían envenenarlo.
Esta obsesión de hecho lo llevó a la muerte en 1978 luego de varios meses
negándose a comer. Su muerte fue causada por inanición.
Además de los teoremas
de incompletitud sus trabajos incluyen teorías sobre computabilidad, funciones
recursivas, lógicas intuicionista, modal y difusa. Una gran cantidad de ellos
nunca fueron publicados porque pensaba que no estaban suficientemente
terminados. Sus cuadernos de trabajo continúan siendo una fuente de estudio e
inspiración.
Hilbert vivió todavía
12 años luego de la publicación de los teoremas de Gödel sin embargo es posible
que no se diera del todo por enterado de sus implicaciones. Se dice que en
1932, luego de que Hilbert publicara “Tertium non datur”, Gödel comentó: “¿cómo
es posible que escriba ese artículo después de lo que yo he hecho?” Sin embargo
la historia, en esta contienda de titanes, ha dado por ganador indiscutible a
Kurt Gödel.[3]
REFERENCIAS
·
Rebecca Goldstein, Incompleteness: The
Proof and Paradox of Kurt Gödel, http://rebeccagoldstein.com/books/incompleteness/index.html
·
El Programa de Hilbert, Enciclopedia de Filosofía de
Stanford: http://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/
De Wikipedia
